Привет! Меня зовут Юрий Валерьевич Арутюнян, я инженер по разработке ПО,
живу в городе Щелково, Московская область.

Работаю над гипотезой Коллатца.

Доказательство гипотезы Коллатца

Доказано: 26.11.2025

Опубликовано: 02.12.2025

Базовые понятия

Harut-елемент - это фундаментальный элемент модели. Вы можете представить его просто как черную точку.
Harut-пара - это пара из двух Harut-элементов.
Harut-система - это множество которое может состоять из Harut-элементов и Harut-пар.

Условные обозначения

Harut-элемент обозначается буквой `h`.
Harut-пара обозначается буквой `H`.
Harut-система берется в круглые скобки.

Классификация Harut-систем

Harut-системы могут быть стабильными и нестабильными.
Стабильная Harut-система - это система которая состоит только из Harut-пар. Обозначается как (H, …).
Нестабильная Harut-система - это система в которой есть один Harut-элемент. Обозначается как (H, …, h).

Фундаментальные принципы

  1. Harut-элемент стремится образовать пару с другим Harut-элементом.
  2. Стабильная Harut-система стремится разделиться на две равные части.
Примеры:
(h, h) = (H)
(H, H) = (H) (H)
(H, H, H) = (H, H, h, h) = (H, h) (H, h)

Размерность Harut-системы

Это количество Harut-пар в системе. Обозначается как (H, ...)N, где N это размерность системы.

Мутация

Мутация - это любое изменение в Harut-системе. Под изменением, мы имеем ввиду что элементы могут быть добавлены или удалены из системы. Система может быть также разделена на равные части, или части могут повторяться. Таким образом мы просто вводим основные арифметические операции (сложение, вычитание, умножение и деление)
Мутации могут стабилизировать или дестабилизировать систему.
Примеры:
(H, …, h)N + (h) = (H, ...)N + (h, h) = (H, ...)N + (H) = (H, ...)N+1
3 x (H, …, h)N = (H, …, h)N + (H, …, h)N + (H, …, h)N = (H, ...)3N + (h, h) + (h) = (H, ...)3N + (H) + (h) = (H, …, h)3N+1
3 x (H, …, h)N + (h) = (H, …, h)3N+1 + (h) = (H, ...)3N+1 + (h, h) = (H, ...)3N+2

Кратность

Кратность - это свойство стабильной Harut-системы быть разделенной на равные подсистемы без потери стабильности каждой из них.
Обозначается как m(H, ...)N, где m кратность системы.
Обозначается буквой S (e.g. 2S – 2-кратная стабильная Harut-система)

Harut-мутация

Мы обозначим мутацию 3 x (2S, h) + h как Harut-мутацию.
Теорема: Harut-Мутация оказывает стабилизирующий эффект на систему, однако если применять её рекурсивно к системе которая существует по своим фундаментальным правилам жизненного цикла, система вырождается, что означает что в результате её деления, все стабильные пары в конечном итоге будут существовать не в рамках системы, а сами по себе.
Доказательство: Мы распишем весь жизненный цикл системы в соответсвии с фундаментальными принципами.
2(H, …, h)N
→ (stabilization) 3 x 2(H, …, h)N + (h)
→ 2(H, …, h)N + 2(H, …, h)N + 2(H, …, h)N + (h)
→ 2(H, …)N + 2(H, …)N + 2(H, …)N + (h, h, h, h)
→ 2(H, …)N + 2(H, …)N + 2(H, …)N + (H, H)
→ (division) 2(H, …)N + 2(H, …)N/2 + H
→ (H, …)N+N/2+1
После стабилизации и деления, Harut-система 2(H, …, h)N мутирует в (H, …)N+N/2+1.
Так как Harut-система изначально была двухкратной, мы не можем гарантировать что система все еще обладает этим свойством.
Хотя мы уверены что она все еще стабильна.
Поэтому в соответствии с фундаментальными принципами, Harut-система должна быть разделена на две равные части; однако после деление, она может образовать две стабтльные или две нестабильные системы.
(H, …)N+N/2+1 → (H, …)(N+N/2+1)/2
Или
(H, …)N+N/2+1 → (H, …, h)⌊(N+N/2+1)/2⌋
После всех мутаций, размерность системы стабильно будет ⌊(N+N/2+1)/2⌋ и, в самом неблагополучном случае, войдет в цикл N → ⌊(N+N/2+1)/2⌋
Мы докажем что данная рекурсивная функция сходится.
N = ⌊(N+N/2+1)/2⌋
Докажем методом изменения вокруг фиксированной точки. Возьмем точку L = 2.
Рассмотрим разницу Di = Ni – 2.
Ni+1 – 2 = ⌊(3Ni + 2) / 4⌋ – 2 = ⌊(3Ni + 2 – 8) / 4⌋ = ⌊(3Ni – 6) / 4⌋ = ⌊3(Ni – 2) / 4⌋ = ⌊3Di / 4⌋
Di+1 = ⌊3Di / 4⌋, Di > 0 => Di+1 < Di Q.E.D.
Таким образом, Harut-мутация ведет к вырождению системы, начиная с 2(H, …, h)N.
Сейчас посмотрим что идет в обратную сторону жизненного цикла от этой системы, чтобы посмотреть что к ней приводит.
Изначально система нестабильна, это значит что она была образована в результате деления.
2(H, …, h)N = (H, …, h)2n <= (H, …, )4n (H) = (H, ...)4n+1
Невозможно образовать (H, ...)4n+1 путем стабилизации, значит это тоже было образовано делением.
(H, ...)4n+1 <= (H, ...)8n+2
Таким образом, перед тем как система вырождается, в жизненном цикле системы возникает два деления подряд.

Выводы:

Гипотеза Коллатца говорит что если вы возьмете любое целое положительное n и будете постоянно применять к нему ниже описанные правила, то в конце концов вы придете к числу 1.
Правила такие:
Если n четное, делим на 2
Если n нечетное, умножаем на 3 и прибавляем 1
Давайте проведем аналогию между числами Harut-системами.
2(H, …, h)N = (H, …, h)2N представляет число A, такое что A mod 4 = 1.
(H, …)8n+2 представляет число B, такое что B mod 4 = 2.
Два деления подряд говорят о том что вырождение начинается с числа C, такого что C mod 4 = 0.
Harut-мутация представляет 3x+1 функцию
Таким образом, гипотеза Коллатца верна для всех чисел которые дают остаток 0, 1 или 2 от деления на 4.
Давайте докажем, что для любого числа D такого что D mod 4 = 3, гипотеза Коллатца также верна.
D mod 4 = 3 => D = 4k + 3
4k + 3 (нечетное) => C(D) = 3(4k + 3) + 1 = 12k + 10
(12k + 10) mod 4 = (12k mod 4) + (10 mod 4) = 10 mod 4 = (8 + 2) mod 4 = 2 mod 4 = 2
Тактм образом, любое число D такое что D mod 4 = 3 приведет к числу E такому что E mod 4 = 2.
Гипотеза Коллатца для таких чисел E уже доказана.
Q.E.D.

Обо мне

У меня степень магистра по математике.